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高中的题型中，思维难度最大的是数列和不等式，其次是函数，函数比较活，要靠平时 积累。然而会做高难度题型显然是不够的，很多人栽在时间不够和计算失误上。在高考有限 的时间内能尽可能挤出时间去解决高难度题型是得高分的关键之一。下面推荐几个方法，可 以减少不少运算，而且能有效提高计算准确率。 假如能在高考中节约 10 分钟，那都是异常宝贵的，更不用说提高计算准确率了。
注意：下面这些方法是高中没有讲的，在做题时一定注明用到的定理方法名称。否则遇到钻 牛角尖的改卷老师，只能白吃亏。
一.立体几何
（强烈建议学会这个方法，其他的如果觉得理解困难可以不掌握。）
行列式简化运算（大概减少 5 分钟运算），在涉及法向量的计算时用行列式会非常简洁。
二阶行列式
（即对角线乘积之差）
三阶行列式
可以按照某一行或者某一列展开（习惯按照行展开）
（即某个元素乘以剔除这个元素所在行和列后所得的新行列式，注意第二个展开式前面是负号，这里是最容易错的）
立体几何里要用到向量乘法扩展。
1.求平面法向量
做立体几何的试题的模式化操作无非是建立直角坐标系，然而有点难度的题都会考法向量的 应用，平常解方程组的方法求法向量非常麻烦，还要讨论方向。但用这个方法非常简便，能 节省不少时间。（大一开始就要学这个，其实高中就应该学。） 这是行列式最有用最简洁的地方 。
设方程组求解需要解三元一次方程还要指定一个变量为定值，比较麻烦而且容易出错。
下面的方法简单且容易记忆。
设n是a= (x1, y1, z1)，b = (x2, y2, z2)所成的平面的法向量，
则（i，j，k是坐标轴单位向量）
按第一行展开，就求得n的向量表达式
当然，还可以写成更简单的坐标形式。
求出的法向量最好把长度提出来写成单位向量乘以长度，
即
计算时直接算单位向量e要方便得多。因为某向量在单位向量的方向的投影就是a.e。
步骤：
n=行列式 = 行列式展开式 = 坐标式 =λe
顺便说一下
（显然，若n=0，则a，b共线，等效a=λb），n的大小等于a，b所成平行四边形的面积。
（这个就是向量积n=axb，也叫外积，向量积n是一个向量，而且垂直于a，b。物理上的洛伦兹力表达式就是这个关系。
最后关于法向量n的方向：（n=axb）
右手定则：右手除了大拇指的其余四指，指头所指的方向从向量的方向弯向向量的方向， 弯过的角度小于 180 度，大拇指所在方向就是n的方向。
有时候二面角不容易判断是钝角还是锐角，要确定法向量的具体方向，在平面的哪一侧。可见使用向量外积可以直接确定法向量的精确坐标，而设方程还要进行方向的讨论，非常麻烦。
2.求平行六面体体积
假设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2,z2)，c=(x3,y3,z3),求a，b，c组成的平行六面体体积v。
（行列式再加绝对值）
（混合积(axb).c，它的大小等于a，b，c组成的平行六面体体积，高中生完全可以推出这个结论。解题时写到混合积……）。
3.求三角形面积
设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，c2），求a，b所成三角形面积s
因为
所以按照上面的，先求出n，在算出n的大小，最后除以2。
（上面解题时写到向量积……）
如果是二维（平面）坐标就更加简单了，已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），可看作三维坐标下z=0，（axb）.（0,0,1）即三角形面积数值上等于高为1 的平行六面体体积的1/2。
即：
若已知三角形三个顶点坐标，写出 2 个向量，按照这种方法很快就能求解，避免了大量的运算。
这个可转化为求三棱柱体积、三棱锥体积、四棱锥体积。
三棱柱体积等于平行六面体体积的 1/2
三棱锥体积等于平行六面体体积的 1/6（棱锥体积等于相应棱柱体积的 1/3）
四棱锥体积等于平行六面体体积的 1/3
二.解析几何
解析几何的思维难度不大，重点是简化运算。下面给出几个经验公式，能大概简化 3 到 5 分钟运算。高中解析几何一般就涉及直线与圆锥曲线相交问题。
1.抛物线切线
若抛物线是 = ²，则求导求切线更容易。
2.关于何时消x，y
一般来说消 就行了 ，以下几种情况会事半功倍 ，
(1)双曲线、抛物线口朝哪根轴就消那个 ，
这样可以避免直线垂直曲线对称轴时的讨论。
例：抛物线为 ² = 2 ，直线设 = + 最佳（不平行 轴）
(2)直线交坐标轴于 ，与圆锥曲线交于 ( 1, 1) ( 2, 2)， 分 的比为 。
若 在 轴上则消
若 在 轴上则消
因为这样，比如：若 在 轴上， 1 = ± 2，简化运算。
3.直线与圆锥曲线交线长度
设直线 = + 与圆锥曲线 ² + ² + + + = 0
消去 后得到 ²+ + =0
一般我们常常会用到
如果按照韦达定理带入表达式计算，那样容易出错。其实很容易证明：
比如，交线长度的经验公式：
消去 后得到 ² + + = 0
由于是个经验公式，前面最好写上
直线设成 = + 时同理，注意此时斜率为：
4.几何性质简化运算或提供思考方向
圆锥曲线的几何性质（第一定义）、三角形的中位线性质……不一一举例。
*我就说一些不常见的，有点难的。关于几个初中定理的反推（这几个定理本来就是充分必要条件，只是在初中只讲充分条件的部分），主要用于提供思考方向，一般对很难的问题来说可能有些帮助。
(1)初中的切割线定理，反之若那种情形的比值条件成立，则相应的直线与圆相切。
(2)初中的圆周角相等定理，反之，即三点，2 定点，1 动点，若动点与而定点所成的角为定值，则这三点在一个圆上，即动点的轨迹是个圆。
三．求极限
求极限的简便方法，我推荐大家最好掌握，万一遇到抽筋的极限可以轻松解决。在一般的不定型极限里也是事半功倍。
（只有这 2 种时才能用）
注意：后者无穷时前者也无穷，后者摆动时前者可能还存在极限。
例：
有极限，求这个极限。
一般的做法要求出 ，而这个做法就可以绕过它。
上下分别求导得：
当然这是小儿科级别，对于一般难求的极限，这个法则的作用就大了，求导一般来说可以降 次，从而有效简化运算。 注意：解大题时写上由洛必达法则……
四.求导
求导有比较多的简化方法。其中只说隐函数求导法则，一个函数，例如抛物线： 2 = 2 ( > 0)，也可以写成 = √2 。
前者就是隐函数，后者就是显函数。 是一个关于 的函数，由复合函数求导法则知，所以对 ( )求导 ′ ( ) ′ 。
两边求导：
如果对于关系复杂的显函数求导，比如：
求导比较痛苦。然而如果我们用隐函数求导法则，两边取对数：
两边求导：
代入：
上面类似的根式形式都可以用这个做法。 这个东西考得比较少，可以不掌握。但建议掌握隐函数求导法则，在解某些物理题时，隐函数数求导是事半功倍的。
当然了，如果想要更进一步可以去购买一些感兴趣的课程或者书籍，自我进修。 |
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发表于 2023-3-30 20:25:08